函数单调性与极值
单调性
设 在区间 可导,则:
- 如果 ,则 在 严格单调增加。
- 如果 ,则 在 严格单调减少。
- 减弱
- 若 仅在 孤立点少数、有限个 为零,结论不变
- Eg.
- 的闭端点只要连续,结论不变(不要求可导)
- 逆命题不成立
- 证明
Proof
#Lagrange中值定理
- 推论:
若 在区间 可导 ( ),则 在 单增
Proof
Analysis
Proof
故在严格递减
left=-1
right=4
top=3
bottom=-3
---
\ln(1+x)
\frac x{\sqrt{1+x}}
Proof
函数极值判别法
#Fermat引理
可导的极值点必为驻点
极值也可在不可导点取得,故
极值点必包含于驻点和不可导点中.
设 ,且对于 有:
-
若在 的左侧,;在 的右侧,,则 为极小值;
-
若在 的左侧,;在 的右侧,,则 为极大值;
-
若在 的两侧 不变号,则 不是极值。
求的单调区间和极值.
驻点
列表略
设 在 处二阶可导,且 ,则:
-
当 时, 为极大值;
-
当 时, 为极小值。
- 理解:驻点处二阶导不为0即为极值点
- 缺点:
- 导数判断:不能判断不可导点
- 当时失效:三种情况都可能
- Eg. 为驻点极小值点
- Eg. 为驻点极大值点
- Eg. 为驻点非极值点
- 证明
Proof
- 先证明极大值的情况
由于 ,
根据保号性,存在 ,对于所有 ,有 。
因此,对于 ,有 ,对于 ,有 。
- 同理可得极小值的情况
设 由方程 确定,求其极值。
Proof
对 求导:$$6y^2 y' - 4yy' + 2y + 2xy' - 2x = 0 \dots (1)$$
令 ,得 。因此,驻点处函数值等于自变量。
将 带入原方程:$$2x^3 - x^2 - 1 = 0$$
解得 ,驻点为 ,此时 。
对 式继续求导:$$6y(y')^2 + 3y^2 y'' - 2(y')^2 - 2yy'' + y' + y' + xy'' - 1 = 0$$
令 得此时 ,。
因此,,因此 为极小值。
函数最值求法:
已知:
- 区间内部的最值点一定是极值点.
- 因此最值点一定在极值点和区间端点中,
- 从而一定在驻点, 不可导点和区间端点中
原则: 如果 ,则只需求出 在上述三类点处的函数值,再比较其大小,就可得 的最大值和最小值。
求在上的最值
Solution
令 ,
解得驻点为 (注意: 不在定义域内)。
又 ,,。
因此,,
闭区间上的连续函数无不可导点
单纯连续函数可能有不可导点
(开区间可能无穷)
作一个有盖的圆柱形容器, 若体积V为定值, 问:
底圆半径R与高H成何比例时, 容器的表面积最小
Solution
因此,
令 ,解得 。
由生活经验,只有这个点为最小值点。
下面给出证明:
因此, 为 的极小值点。
函数的凸性和拐点
凸性
设函数 在区间 上定义,如果对于任意 和任意 都有:
则称 是 上的(下)凸函数。如果不等式方向反向( 替换为 ),则称 是 上的上凸函数。
- 理解:
- 自变量的加权平均的函数值小于等于函数值加权平均的值
- 函数值小于相应弦上的点
-
- 可知 与 一一对应
- 证明:弦方程:
- 代入
函数 为 上的凸函数,当且仅当对于任意 有:
- 理解:k左方弦<k右方弦
- 这个条件表明在 上的凸函数的图像上,任意两点间的切线斜率是递增的。
- 证明
Proof
=>:
对于任意 ,令 ,则 。
由于 为凸函数,有:
#添项
得证。
<=:
对于任意 和任意 ,令 ,则 。
由必要性的证明易得:
等价于 成立。证毕。
设 是区间 上的凸函数,则对于任意 ,斜率函数
在 上递增。
Proof
1. 若:
由等价定义,显然成立。
2. 若:
由凸性定义和导数定义:
因此,。
3. 若:
类似可得。
设,则是上的凸函数当且仅当在内递增。
- 开区间上递增 = 闭区间上凸函数
- 凸函数的范围可以扩大到闭端点
- 证明
Proof
=>:
,以及,由等价定义:
令,由保序性知:
类似的,。
因此,递增。
<=:
对于任意,由 #Lagrange中值定理
存在和使得
由,且单调递增:
即。
设,且在内二阶可导,则是上的凸函数当且仅当。
- 不证自明的
- 可导函数递增即
- 递增即
- 特别地,我们称的函数为 严格凸函数
拐点
设,且在两侧有不同的严格凸性,则称为的拐点,点称为曲线的拐点。
NOTE THAT: 有二阶导即邻域内有一阶导
Proof
存在,又为拐点
两侧,有不同单调性
即时的极值点。注意到:在可导。
由 #Fermat引理 :
可导的极值点必为驻点
极值也可在不可导点取得,故
极值点必包含于驻点和不可导点中.
Proof
又在处连续,。类似地,。故在处不可导,故二阶不可导,可能为拐点。
计算得:
令得,故可能为拐点。
列表如下:
不存在不存在下凸拐点上凸拐点下凸
设 ,证明
Proof
两边取对数:
即证:
令
严格上凸
由凸函数定义:
设函数 在区间 上定义,如果对于任意 和任意 都有:
$ f(\alpha x_1 + (1 - \alpha) x_2) \leq \alpha f(x_1) + (1 - \alpha) f(x_2) $
则称 是 上的(下)凸函数。如果不等式方向反向( 替换为 ),则称 是 上的上凸函数。
函数作图步骤
-
求定义域,考察函数的特性(奇偶性、周期性);
-
求和;
-
求和的根,以及一阶、二阶不可导点;
-
列表(上述点分割,考察和在子区间上的符号,确定函数的单调性、极值点、极值和凸性、拐点);
-
求曲线的渐近线(水平、垂直和斜的,参考习题1.3/14);
-
作图(取合适的坐标长度,建立坐标系,先画渐近线)